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【如图,以原点O为顶点,以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0,1),点M是直线l:y=m(m<0)上任意一点,过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S,T,切点分别为B,A.(Ⅰ)求抛物线E的方程;】
更新时间:2024-03-29 20:37:33
1人问答
问题描述:

如图,以原点O为顶点,以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0,1),点M是直线l:y=m(m<0)上任意一点,过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S,T,切点分别为B,A.
(Ⅰ)求抛物线E的方程;
(Ⅱ)求证:点S,T在以FM为直径的圆上;
(Ⅲ)当点M在直线l上移动时,直线AB恒过焦点F,求m的值.

付家伦回答:
  (Ⅰ)设抛物线E的方程为,依题意,解得:p=2,所以抛物线E的方程为。(Ⅱ)设点,,否则切线不过点M,∵,∴切线AM的斜率,方程为,其中,令y=0,得,点T的坐标为,∴直线FT的斜率,∵...
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